Геометрическая модель
Как и любая математическая модель, данная модель существенно ограничивает и упрощает задачу. Например, она не учитывает, что в общем случае сечение поводкового материала не круглое. Также не учитывается случай, когда при увеличении N более некоторого значения в центре появляется место для еще одной малой окружности. Впрочем, это случай для нас малоинтересен, и дальше я покажу, почему.
Решение
[ D = 2(d + CO); ]
[ angle AOB = alpha = frac {pi}{N}; ]
[ AOcdotsin{alpha}=AB; ]
[ AO=AC+CO=frac{d}{2} +CO; ]
[ AB = frac{d}{2}; ]
[ frac{d}{2}sin{alpha}+COcdotsin{alpha} = frac{d}{2}; ]
[ CO=frac{d(1-sin{alpha})}{2sin{alpha}};;;(1) ]
[ D = 2d+frac{d(1-sin{alpha})}{sin{alpha}}=dBig(2+frac{1-sin{alpha}}{sin{alpha}}Big)=dBig(1+frac{1}{sin{alpha}}Big); ]
[ D_N=dbigg(1+frac{1}{sin{frac{pi}{N}}}bigg).;;(2) ]
Проверим формулу (2) для тривиального случая ( N = 2 ), для которого мы уже знаем ответ: ( D = 2d )
[ D_2=dbigg(1+frac{1}{sin{frac{pi}{2}}}bigg)=dBig(1+frac{1}{1}Big)=2d. ]
Проверка пройдено успешно. Теперь осталось выяснить значение ( N’ ), при котором в центре появляется дырка, достаточная для еще одной окружности диаметром ( d ), и формула утрачивает истинность для нашей задачи. Критерий этого случая довольно прост: ( 2cdot CO = d ). Из формулы (1) следует:
[ 2cdotfrac{d}{2}Big(frac{1-sin{alpha}}{sin{alpha}}Big)=d; ]
[ frac{1-sin{alpha}}{sin{alpha}}=1; ]
Формулы для частных случаев (( N = 3, 4 )):
[ D_3=dbigg(1+frac{1}{sin{frac{pi}{3}}}bigg)approx 2.155cdot d; ]
[ D_4=dbigg(1+frac{1}{sin{frac{pi}{4}}}bigg)approx 2.415cdot d. ]
И, по традиции, калькулятор (десятичный разделитель — точка):
Еще можно посоветовать умножить получившийся диаметр на коэффициент >1, например 1,05 (добавить 5%), для облегчения просовывания поводка в трубочку.
Источник: fishingengineer.blogspot.com